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transformada de laplace



RESOLVER LAS ECUACIONES UTILIZANDO
LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Problema 1.- con las condiciones :
Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
Paso 2.-- Sumando los términos semejantes

Paso 3.- Se factoriza la transformada :

Paso 4.- Se despeja la transformada:
Paso 5.-- Se obtiene la transformada inversa de Laplace
;

Paso 6.-   

;  
Paso 7.- Se obtiene el resultado final:
Resultado
 
La solución de la ecuación, puede obtenerse en el Mathematica con la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4 E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]
Una gráfica de la solución es:




Se puede representar la actividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente esquema:


 
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Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace

http://matematicas.mty.itesm.mx/Paginas/MateParaTodos/e07/Aplicaciones_reales_Laplace.ppt

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.
En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:
g(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx
Donde f es \displaystyle{ L^{1}} , o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:
g(\xi ) = \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\beta\xi\,x} dx
de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

\mathcal{F}[f], \hat f, F(f), \mathcal{F} \{ f \}.

Transformada Z

En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
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Serie de Fourier. relaciones de ortogonalidad. funciones par e impar.

                                  Serie de Fourier

 Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Las series de Fourier tienen la forma:
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]   
Donde a_n \,\! y b_n \,\! se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x) \,\! 

                                                                   Ortogonalidad

Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:
\sum_{k=0}^{n-1} e^{-2 \pi i j k/n} \cdot e^{2 \pi i j' k/n} = n \delta_{j,j'}
donde δ es la delta de Kronecker.
Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz n \times n cuyo elemento Ai,j es

U_{j,k}=n^{-\frac{1}{2}} e^{-2 \pi i j k/n}
De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían la normalización y la convención de signos).
Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n. La relación de ortogonalidad se obtiene de los principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.
Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).




funcion impar:
Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).
Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan.

funcion par:

Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:
f(x) = f(-x) \,.
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
 
Ejemplos 
La función y(x)=x  es impar ya que:
 f(-x) = -x                                                           
 pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).
 
 ejemplo:
La función f(x)=x2 es par  ya que f(-x) = (-x)2 =x2
  
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Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.

                         Transformada Inversa de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = F(s),
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
  • Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
  • Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
  • Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
  • Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.


                            Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications
  1. Linealidad
    eq020
    Idea
    La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

    Versión para la inversa:
    eq021
  2. Primer Teorema de Traslación
    eq022
    donde
    eq023
    Idea
    La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
    Versión para la inversa:
    eq024
  3. Teorema de la transformada de la derivada
    eq025
    Idea
    La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

  4. Teorema de la transformada de la integral
    eq161

  5. Teorema de la integral de la transformada
    eq162
    Siempre y cuando exista
    eq163

  6. Teorema de la derivada de la transformada
    eq164

  7. Transformada de la función escalón
    Si eq030 representa la función escalón unitario entonces
    eq165

  8. Segundo teorema de Traslación
    eq166

  9. Transformada de una función periódica
    Si f(t) es una función periódica con período T:
    eq167
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
eq168 

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Unidad III: Definicion de transformada de Laplace. linealidad. propiedades de la transformada de Laplace.

                        Definición de la Transformada

Sea f una función definida para eq001 , la transformada de Laplace de f(t) se define como
eq169
cuando tal integral converge
Notas
  1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
  2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
  3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
    1. De orden exponencial
    2. Continua a trozos
Linealidad

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}


En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications
  1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion,
    eq020
    Idea
    La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

    Versión para la inversa:
    eq021
  2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion,
    eq022
    donde
    eq023
    Idea
    La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
    Versión para la inversa:
    eq024
  3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, 
    eq025
    Idea
    La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

  4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos
    eq161

  5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos
    eq162
    Siempre y cuando exista
    eq163

  6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos
    eq164

  7. Transformada de la función escalón (Ejemplos
    Si eq030 representa la función escalón unitario entonces
    eq165

  8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos
    eq166

  9. Transformada de una función periódica
    Si f(t) es una función periódica con período T:
    eq167
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
eq168 

 Ejercicios:

TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:

 1.
L


2.
L 
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