Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.

                         Transformada Inversa de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad

donde es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

 Transformada Inversa de Laplace:
 

las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
• Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

                            Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.

Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

   
   Versión para la inversa:
   
   
2. Primer Teorema de Traslación
   
   donde
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

   Versión para la inversa:
   
   
3. Teorema de la transformada de la derivada
   

   Idea
   La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

   
   
4. Teorema de la transformada de la integral
   
   
   
5. Teorema de la integral de la transformada
   
   Siempre y cuando exista
   
   
   
6. Teorema de la derivada de la transformada
   
   
   
7. Transformada de la función escalón
   

   Si representa la función escalón unitario entonces
   
   
   

8. Segundo teorema de Traslación
   
   
   
9. Transformada de una función periódica
   

   Si f(t) es una función periódica con período T:
   

Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces