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limite y continuidad. derivacion compleja.

        Limite:    

  El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. 
                                
ejemplo:


MathType 5.0 Equation 
MathType 5.0 Equation


                                Continuidad

 Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

$f(c)$  está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}$ existe
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}}=f(c)$ 

la función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Determinar si la función $f$ definida por $f(x)= \displaystyle\frac{3x}{x^2-x}$ es continua en $x=2$
Primero $f(2)=\displaystyle\frac{3\cdot 2}{4-2}=3$ por lo que f está definida en 2
Calculemos $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{3x}{x^2-x}}=\frac{3\cdot 2}{4-2}=3}$ (de aquí $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe) 
Como $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=f(2)$ entonces f es continua en $x=2$

Note que f no está definida ni en $x=1$, ni en $x=0$ por lo que f es discontinua en esos puntos. 

ejemplo:
Sea f la función definida $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{x^2+x-2}{x+2} & si & x\neq -2 \\ & & \\ -3 & si & x=-2 \\ \end{array}\right.$
Determinar si f es continua en $x=-2$

Según la definición de la función $f(-2)=-3$.

Además $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{-2}}{\frac{x^2... ...{x \rightarrow{-2}}{\frac{(x+2)(x-1)}{x+2}}=\lim_{x \rightarrow{-2}}{(x-1)}=-3}$

Luego $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{-2}}{f(x)}=f(-2)$ por lo que f es continua en $x=-2$

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

 
                                                         Derivación compleja

La derivada compleja es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

La derivada de una función compleja f(z)enz0 ∈ℂ
es, si  existe, el límite siguiente:
f'(z0) =limz→z0 f(z) -f(z0)       .
                          z-z0 


ejemplos propuestos:
Hallad las funciones derivadas de las funciones
f(z) = e-jz,g(z) =sin(2z + 3i),h(z)
Buscad también las derivadas en el punto z0 = i de las funciones anteriores.
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