Matematicas IV: Regiones del plano complejo. funciones de variables compleja. limite y continuidad. derivacion compleja.

Regiones del plano complejo

El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand.

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los término.

Funciones de variables complejas.

Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.

Cuando la variable es un número complejo, al función se llama función de variable compleja.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

Dada una función de variable compleja, w = f(z), no es posible representar, a la manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z) correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con la función.

Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.

ejemplos propuestos:

Calcular los ceros exteriores a

= 1 , para F(z) = z⁸ - 4.z⁵ + z² + 1

Encontrar los ceros de z⁷ - 5. z³ + 12 en el anillo 1<

< 2.

Estudiar la derivación de la función f(z) = x en el caso real y en el caso complejo.

Ejemplos resueltos:

Estudiar si son derivables o en que dominio lo son, las siguientes funciones de variable compleja :

Para el primer caso tenemos :

con lo que resulta :

Se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman y las funciones u_x, u_y, v_x, v_y son contínuas para todos los valores x e y , por lo que la función estudiada es holoforma para todo valor de z.

Para la segunda función tenemos :

En este caso se cumplen las condiciones de Cauchy – Riemman pero las derivadas dejan de ser continuas en

= 0 y, en consecuencia, f(z) es derivable en todo el plano salvo el punto (0, 0).

En el tercer caso podemos escribir :

En este último caso, las condiciones de Cauchy – Riemman únicamente se cumplen si x = 0 ó y = 0, es decir, sobre dichas rectas. De todos modos, en ningún punto de dichas rectas es derivable la función.

ejemplo.

Determínense las regiones de convergencia de las siguientes series:

a) La expresión dada se puede transformar en una más sencilla escribiendo:

Por el criterio de la raíz tenemos:

Y la región de convergencia será el interior del círculo

b) Para la segunda serie aplicamos el criterio logarítmico, que dice: Si existe el límite de la expresión:

Y este es mayor que 1, entonces la serie an es convergente. Según eso tenemos:

Y a partir de ahí:

Con lo que la región de convergencia será el exterior del círculo

Limite y continuidad

Definición de límite

Sea

una función definida en una vecindad del punto

	Definición
	Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$ , si para cada número positivo $\varepsilon$ , por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo $\delta$ , tal que para todos los valores de , diferentes de , que satisfacen la desigualdad $\vert x-b\vert<\delta$ , se verificará la desigualdad $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$ .

Luego, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{b}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0,\;\;\mbox{existe}\;\;\delta>0$ tal que si $0<\vert x-b\vert<\delta$ , entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$ .

En forma gráfica se tiene:

para cada $\varepsilon >0$	existe $\delta >0$

tal que si $0<\vert x-b\vert<\delta$	entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$

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Regiones del plano complejo. funciones de variables compleja. limite y continuidad. derivacion compleja.

Definición de límite