Condiciones de Cauchy-Riemann

Las condiciones de Cauchy-Riemann son básicas en el Análisis Complejo, debido a que su verificación constituye una condición necesaria para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea una función compleja

f (z)

, con

z = x + iy

f (z)

se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que

f (z) = f (x, y) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)

. Si la función

f (z)

sea derivable en un punto

z 0 = x 0 + iy 0

entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

u x (x 0, y 0) = v y (x 0, y 0)

v x (x 0, y 0) = - u y (x 0, y 0)

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

f'(z 0) = u x'(x 0, y 0) + iv x'(x 0, y 0) = v y'(x 0, y 0) - iu y'(x 0, y 0)

Existen formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann:

f x + if y = 0

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condición necesaria, pero no son condición suficiente para demostrar la derivabilidad de una función en un punto.

Sin embargo, existen condiciones suficientes de derivabilidad si la función, además de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos funciones u y v con derivadas parciales primeras continuas en un entorno de

z 0 = (x 0, y 0)

Ejemplo resuelto:

Veamos un ejemplo donde derivable en todo número complejo y por lo tanto las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier

z = x + iy

. Consideramos la función

f (z) = z 2

. Ahora veamos esta función en coordenadas cartesianas.

f (x + yi) = (x + yi) 2 = (x 2 - y 2) + i 2 xy

por lo tanto las parte real e imaginaria de la función son

u (x, y) = x 2 - y 2

v (x, y) = 2 xy

respectivamente. Derivado con respecto a

x

y

es inmediato que

u x = 2 x = v y

y que

u y = - 2 y = - v x

Por último verifiquemos la condición sobre las derivadas. La derivada de

f

es claramente

f'(z) = 2 z

(las reglas para derivar funciones complejas es similar a las funciones reales) por lo tanto

f'(x + iy) = 2(x + iy) = 2 x + i 2 y = u x + iv x = v y - iu y

Fórmula integral de Cauchy

Augustin Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés.

Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto $z_0 \,$ contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple que contenga al punto se tiene

$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)$

k = n + 1. k o r d e n p o l o d e v a l o r z = z 0

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea $f \,$ una función holomorfa (función analítica) sobre

γ

γ

un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y

$z_0\notin \gamma$

$f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i \cdot I_\gamma(z_0)} \int_{\gamma}\frac{f(\omega)}{\omega-z_0} d\omega$

Siendo $z_0 \,$ un punto, $I_\gamma(z_0) \,$ el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace). ejemplos propuestos con la formula integal de cauchy:

Calcular las siguientes integrales en cada caso $\gamma$ es el circulo $\left |{z}\right |=2$

a) $\displaystyle\int_{\gamma}^{}\displaystyle\frac{1}{z^2-1}dz$

b) $\displaystyle\int_{\gamma}^{}\displaystyle\frac{dz}{z^2+z+1}$

c) $\displaystyle\int_{\gamma}^{}\displaystyle\frac{dz}{z^2-8}$

d) $\displaystyle\int_{\gamma}^{}\displaystyle\frac{dz}{z^2+2z-3}$

y ademas me piden hacerlas solo con la fórmula integral de Cauchy, la ultima la hice pero no se si este buena me dio $\displaystyle\frac{i\pi}{2}$ .

Función armónica conjugada

función armónica es una función dos veces continuamente derivable f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rⁿ) que cumple la ecuación de Laplace, i.e.

$\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$

en D. Esto se suele escribir como

$\nabla^2 f = 0$ o también como $\ \Delta f = 0.$

Ejemplos

Ejemplos de funciones armónicas de dos variables

La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa
f(x₁, x₂) = ln(x₁² + x₂²)

definida en R² \ {0} (asi como los ies por ejemplo el potencial eléctrico debido a una carga en línea, y el potencial gravitatorio debido a una masa cilíndrica)

Si u es una función armónica y le aplicamos una transformación conforme del plano, continúa siendo armónicA.

Ejemplos de funciones armónicas de n variables

Las funciones afines, en particular la función constante.
La función

$\sum_{i=1}^{N} a_i x_i^2$ siempre que $\sum_{i=1}^{N} a_i = 0$ .
Propiedades de las funciones armónicas conjugada
Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.

El teorema de regularidad para las funciones armónicas

Las funciones armónicas son infinitamente derivables. De hecho, son funciones analíticas.

El principio del máximo

Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D, entonces f, en K, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.
Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto si f es constante (conocido como el principio fuerte del máximo).

Integral de línea

es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

ejemplo:

Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de un tanque a traves de una escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del tanque.

Aplicacion De La Integral De Linea Al Calculo Del Trabajo

El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por distancia”, es decir que el trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd , donde F es una fuerza constante que actúa sobre el cuerpo y que es paralela al desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.

Matematicas IV

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