Serie de Fourier. relaciones de ortogonalidad. funciones par e impar.

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Las series de Fourier tienen la forma:

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]$

Donde $a_n \,\!$ y $b_n \,\!$ se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función $f(x) \,\!$

Ortogonalidad

Se puede usar la fórmula del sumatorio para probar una relación de ortogonalidad:

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{-2 \pi i j k/n} \cdot e^{2 \pi i j' k/n} = n \delta_{j,j'}$

donde

δ

es la delta de Kronecker.

Las raíces n-ésimas de la unidad se pueden usar para formar una matriz $n \times n$ cuyo elemento

A i, j

$U_{j,k}=n^{-\frac{1}{2}} e^{-2 \pi i j k/n}$

De lo anterior, las columnas de esta matriz son ortogonales y por tanto es unitaria. De hecho, esta matriz es precisamente la transformada de Fourier discreta (aunque varían la normalización y la convención de signos).

Las raíces n-ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n. La relación de ortogonalidad se obtiene de los principios de teoría de grupos descritos en el grupo de caracteres.

Las raíces de la unidad aparecen en los autovectores de las matrices hermitianas (por ejemplo, de la laplaciana discretizada unidimensional con límites periódicos), de los que se obtiene también la propiedad de ortogonalidad (Stran, 1999).

Funciones par e impar

funcion impar:

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan.

funcion par:

Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:

$f(x) = f(-x) \,$ .

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Ejemplos

La función y(x)=x es impar ya que:

f(-x) = -x

pero como f(x) = x entonces:

f(-x) = - f(x).

ejemplo:

La función f(x)=x² es par ya que f(-x) = (-x)² =x²

Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de la transformada inversa.

Transformada Inversa de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad

$\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = F(s),$

donde $\mathcal{L}$ es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Transformada Inversa de Laplace:

las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.

Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.

Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

Linealidad

Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación

donde

Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada

Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral

Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

Teorema de la derivada de la transformada

Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitario entonces

Segundo teorema de Traslación

Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
eq168

Unidad III: Definicion de transformada de Laplace. linealidad. propiedades de la transformada de Laplace.

Definición de la Transformada

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante

La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s

Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
De orden exponencial

Continua a trozos

Linealidad

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Propiedades de la Transformada

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

Linealidad (Ejemplos, Demostracion,

Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion,

donde

Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion,

Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos

Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos

Siempre y cuando exista

Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos

Transformada de la función escalón (Ejemplos

Si representa la función escalón unitario entonces

Segundo teorema de Traslación (Ejemplos

Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
eq168

Ejercicios:

TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:

Matematicas IV

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